Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2.2

Um $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (x) (1 - \cos (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ um.

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.4

Multipliziere $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 2.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.5.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4

Schreibe $1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.4.1

Ordne Terme um.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - 2 \cos (x) + 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.5.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.5.4.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{2}{\sin (x)}$ als $2 \csc (x)$ um.

$2 \csc (x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc (x)$ ist eine Identitätsgleichung