Trigonometrie Beispiele

$(\tan^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1) = - \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$(\tan^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1)$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 2.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Schritt 2.2

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\sec^{2} (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\sec^{2} (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\sec^{2} (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\sec^{2} (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 2.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$\sec^{2} (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (- \sin^{2} (x))$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (- \sin^{2} (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} (- {\sin (x)}^{2})$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ und ${\sin (x)}^{2}$ .

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1 \cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Mutltipliziere ${\cos (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$- \tan^{2} (x)$

Schritt 10

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 10.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$(\tan^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1) = - \tan^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung