Trigonometrie Beispiele

$2 \sec^{2} (x) - 2 \sec^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$2 \sec^{2} (x) - 2 \sec^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 \sec^{2} (x)$ aus $2 \sec^{2} (x)$ heraus.

$2 \sec^{2} (x) (1) - 2 \sec^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 \sec^{2} (x)$ aus $- 2 \sec^{2} (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$2 \sec^{2} (x) (1) + 2 \sec^{2} (x) (- 1 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2 \sec^{2} (x)$ aus $2 \sec^{2} (x) (1) + 2 \sec^{2} (x) (- 1 \sin^{2} (x))$ heraus.

$2 \sec^{2} (x) (1 - 1 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2.4

Schreibe $- 1 \sin^{2} (x)$ als $- \sin^{2} (x)$ um.

$2 \sec^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \sec^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$2 \sec^{2} (x) \cos^{2} (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 \sec^{2} (x) \cos^{2} (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ heraus.

$2 \sec^{2} (x) \cos^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \sec^{2} (x) \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\cos (x)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 \sec^{2} (x) - 2 \sec^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 1$ ist eine Identitätsgleichung