Trigonometrie Beispiele

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \csc (t)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Schritt 2.3

Um $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (t) (1 - \cos (t))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ mit $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 - \cos (t)) \sin (t)}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (t)) \sin (t)$ um.

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \cos (t) (1 - \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cos (t) \cdot 1 - \cos (t) (- \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- \cos (t) - \cos (t) (- \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $- \cos (t) (- \cos (t))$ .

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \cos (t) + 1 \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.3.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{1} (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.3.4

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \cos (t) + {\cos (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.4

Multipliziere $\sin (t) \sin (t)$ .

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Schritt 2.6.4.1

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.4.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.5

Schreibe $- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.6.5.1

Ordne Terme um.

$\frac{- \cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.6.5.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos (t) + 1}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \cos (t) + 1$ und $1 - \cos (t)$ .

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Schritt 2.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{1}{\sin (t)}$ als $\csc (t)$ um.

$\csc (t)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \csc (t)$ ist eine Identitätsgleichung