Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sec (x) \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sec (x) \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.2.2

Um $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) (\sin (x))}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1}$

Schritt 5

Dividiere ${\sin (x)}^{2}$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (x) \sin (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \sin^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung