Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.7

Multipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.7.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.7.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.7.6

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Schritt 2.7.7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Schritt 2.7.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.7.9

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung