Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \cos (45)}{\sin (45)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (45)}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (45)}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\sin (45)}$

Schritt 2

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.6.5

Berechne den Exponenten.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Multipliziere $- \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2}$

Schritt 9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 10.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 10.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 10.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 10.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} - \frac{2^{1}}{2}$

Schritt 10.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2} - \frac{2}{2}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2} - \frac{2}{2}$

Schritt 10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{2} - 1$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{2} - 1$

Dezimalform:

$0.41421356 \dots$