Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{π}{2} + x) = - \cot (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan (\frac{π}{2} + x)$

Schritt 2

Schreibe $\tan (\frac{π}{2} + x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Schritt 4

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1 \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{\cos (x) + 0 \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) + 0}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5.1.5

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{\cos (x)}{0 \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{0 - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Schritt 5.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{\cos (x)}{0 - 1 \cdot 1 \sin (x)}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{0 - 1 \sin (x)}$

Schritt 5.2.5

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{0 - \sin (x)}$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$\frac{\cos (x)}{- \sin (x)}$

Schritt 5.3

Separiere Brüche.

$\frac{1}{- 1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{1}{- 1} \cot (x)$

Schritt 5.5

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$- \cot (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (\frac{π}{2} + x) = - \cot (x)$ ist eine Identitätsgleichung