Trigonometrie Beispiele

$\arcsin (\sin (\frac{7 π}{8}))$

Schritt 1

Schreibe $\frac{7 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\arcsin (\sin (\frac{\frac{7 π}{4}}{2}))$

Schritt 2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\arcsin (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

Schritt 3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

Schritt 4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\arcsin (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\arcsin (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Schritt 4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Schritt 4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Schritt 4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Schritt 4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Dezimalform:

$0.39269908 \dots$