Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{5 π}{3} - \frac{5 π}{4})$

Schritt 1

Um $\frac{5 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 π}{4})$

Schritt 2

Um $- \frac{5 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π \cdot 3}{12})$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{5 π \cdot 4 - 5 π \cdot 3}{12})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\sin (\frac{20 π - 5 π \cdot 3}{12})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$\sin (\frac{20 π - 15 π}{12})$

Schritt 5.3

Subtrahiere $15 π$ von $20 π$ .

$\sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 6

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 6.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 6.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 6.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 6.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Dezimalform:

$0.96592582 \dots$