Trigonometrie Beispiele

$\sin (22.5) \cos (22.5)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (22.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $22.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{45}{2}) \cos (22.5)$

Schritt 1.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}) \cos (22.5)$

Schritt 1.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}$ .

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Schritt 1.4.1

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Schritt 1.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (22.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $22.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Schritt 2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Schritt 2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3

Multipliziere $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.3

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.4.1.3.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.4

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$0.35355339 \dots$