Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 1

Um $\frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\cos (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\cos (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (\frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\cos (\frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\cos (\frac{2 π + 3 \cdot π}{12})$

Schritt 5.3

Addiere $2 π$ und $3 π$ .

$\cos (\frac{5 π}{12})$

Schritt 6

Der genau Wert von $\cos (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 6.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 6.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 6.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 6.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 6.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$0.25881904 \dots$