Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Bewege $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

Schritt 1.2

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$- 1 + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Schritt 1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Schritt 1.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sin^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 5

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{\sin (x)}$ und $b = \sin (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$(\csc (x) + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$

Schritt 9

Multipliziere $(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 10.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\csc (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \csc (x)$ neu an.

$\csc (x) \csc (x) - \csc (x) \sin (x) + \csc (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10.1.2

Addiere $- \csc (x) \sin (x)$ und $\csc (x) \sin (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10.1.3

Addiere $\csc (x) \csc (x)$ und $0$ .

$\csc (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere $\csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\csc (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 10.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\csc^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 10.2.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 10.2.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 10.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 10.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc^{2} (x) - \sin^{2} (x)$