Trigonometrie Beispiele

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$ als $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ um.

$(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Schritt 2

Multipliziere $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x)) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (2 x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)$

Schritt 3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

Schritt 3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $\sin (2 x) \cos (2 x)$ um.

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Schritt 3.3

Addiere $\cos (2 x) \sin (2 x)$ und $\cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Schritt 4

Bewege $\sin^{2} (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 5

Ordne Terme um.

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Stelle $2 \cos (2 x)$ und $\sin (2 x)$ um.

$1 + \sin (2 x) (2 \cos (2 x))$

Schritt 7.2

Stelle $\sin (2 x)$ und $2$ um.

$1 + 2 \cdot \sin (2 x) \cos (2 x)$

Schritt 7.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 (2 x))$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 + \sin (4 x)$