Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = - 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (- 1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{12}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{12}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{12}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{12}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{5 π}{12})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 π}{12}$ in den Zähler.

$x = 2 \frac{- 5 π}{12}$

Schritt 5.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (6)}$

Schritt 5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 5 π}{6}$

Schritt 5.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 π}{6}$

Schritt 6

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3.1.2

Um $\frac{3 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3.1.3

Um $- \frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Schritt 7.3.1.4.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Schritt 7.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Schritt 7.3.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{12}$

Schritt 7.3.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{12}$

Schritt 7.3.1.6.3

Subtrahiere $2 π$ von $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

Schritt 7.3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Schritt 7.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

Schritt 7.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

Schritt 7.3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 8.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 9

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{5 π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{5 π}{6} + 2 π$

Schritt 9.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Schritt 9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$