Trigonometrie Beispiele

$(\tan^{2} (x) - 16) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 1

Vereinfache $(\tan^{2} (x) - 16) (2 \cos (x) + 1)$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 16) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 16) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 1.2

Multipliziere $(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 16) (2 \cos (x) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x) + 1) - 16 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.3.1.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Schritt 1.3.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere $2 (\sin (x))$ durch $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Schritt 1.3.2.5

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 1.32581766 + 2 π n, 1.81577498 + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 4.46741031 + 2 π n, 4.95736764 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3