Trigonometrie Beispiele

$(\tan (x) + 1) (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(\tan (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1$ .

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\sec (x) - 1$ .

$(\sec (x) - 1) (\tan (x) + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\sec (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sec (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sec (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = 1$

Schritt 4.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $arcsec (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\tan (x) + 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\tan (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 5.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 5.2.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sec (x) - 1) (\tan (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$