Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 0$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 5

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1$

Schritt 8

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 10

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 11.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 13.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 13.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 13.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 13.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 13.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 13.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$