Trigonometrie Beispiele

$2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$ durch $2 \sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$ durch $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (4 x)}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (4 x)}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} \sin (4 x)}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \sin (4 x)}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $\sin (4 x)$ durch $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.2.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 1.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 1.3.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 1.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Schritt 1.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 3$ .

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Schritt 6.1.4.1

Stelle $π$ und $3$ um.

$4 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 6.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 \cdot π$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Schritt 6.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$