Trigonometrie Beispiele

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{15} = 2$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $15$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{15} \cdot 15 = 2 \cdot 15$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{15} \cdot 15 = 2 \cdot 15$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x} + e^{- x} = 2 \cdot 15$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$e^{x} + e^{- x} = 30$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 30$

Schritt 3.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = 30$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 30$

Schritt 3.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 3.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 3.4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 30$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 30$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 30 u$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 30 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 30 u$

Schritt 3.4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 1 = 30 u$

Schritt 3.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere $30 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 1 - 30 u = 0$

Schritt 3.4.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 30$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.4.1.1

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.4.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4

Schreibe $896$ als $8^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 3.4.3.4.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $896$ heraus.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Schritt 3.4.3.4.3

Vereinfache $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Schritt 3.4.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Schritt 3.5

Setze $15 + 4 \sqrt{14}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Schritt 3.6

Löse $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ um.

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Schritt 3.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.7

Setze $15 - 4 \sqrt{14}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Schritt 3.8

Löse $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ um.

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Schritt 3.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.8.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.8.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.8.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 3.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Dezimalform:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$