Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\cos^{2} (2 x)$ durch $1 - \sin^{2} (2 x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \sin^{2} (2 x)) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $\sin^{2} (2 x)$ von $- \sin^{2} (2 x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (2 x) = 0$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (2 x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 7.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Löse in $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Schritt 10.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 10.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 10.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 10.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 10.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Schritt 10.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 10.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache.

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Schritt 10.5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 10.5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 10.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 10.5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 4$ .

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Schritt 10.5.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$2 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 10.5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 \cdot π$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Schritt 10.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 10.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 10.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 10.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 10.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 10.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Schritt 10.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 10.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 10.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 10.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.7

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Schritt 11.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 11.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 11.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Schritt 11.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 11.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 11.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 11.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 11.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 11.5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Schritt 11.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.5.3.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 11.5.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Schritt 11.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 11.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 11.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 11.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 11.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{8}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{8} + π$

Schritt 11.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 11.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 11.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Schritt 11.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.7.4.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Schritt 11.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Schritt 11.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{8}$

Schritt 11.8

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$