Trigonometrie Beispiele

$3^{3 x - 3} = 5^{- x - 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (3^{3 x - 3}) = \ln (5^{- x - 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (3^{3 x - 3})$ durch Herausziehen von $3 x - 3$ aus dem Logarithmus.

$(3 x - 3) \ln (3) = \ln (5^{- x - 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{- x - 1})$ durch Herausziehen von $- x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(3 x - 3) \ln (3) = (- x - 1) \ln (5)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(3 x - 3) \ln (3)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (3 x - 3) \ln (3) = (- x - 1) \ln (5)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(3 x - 3) \ln (3) = (- x - 1) \ln (5)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (3) - 3 \ln (3) = (- x - 1) \ln (5)$

Schritt 4.2

Vereinfache $(- x - 1) \ln (5)$ .

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (3) - 3 \ln (3) = - x \ln (5) - 1 \ln (5)$

Schritt 4.2.2

Schreibe $- 1 \ln (5)$ als $- \ln (5)$ um.

$3 x \ln (3) - 3 \ln (3) = - x \ln (5) - \ln (5)$

Schritt 4.3

Addiere $x \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (3) - 3 \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (5)$

Schritt 4.4

Addiere $3 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (5) + 3 \ln (3)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (3) + x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x \ln (3)$ heraus.

$x (3 \ln (3)) + x \ln (5) = - \ln (5) + 3 \ln (3)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (3 \ln (3)) + x (\ln (5)) = - \ln (5) + 3 \ln (3)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 \ln (3)) + x (\ln (5))$ heraus.

$x (3 \ln (3) + \ln (5)) = - \ln (5) + 3 \ln (3)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (3) + \ln (5)) = - \ln (5) + 3 \ln (3)$ durch $3 \ln (3) + \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (3 \ln (3) + \ln (5)) = - \ln (5) + 3 \ln (3)$ durch $3 \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (3 \ln (3) + \ln (5))}{3 \ln (3) + \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{3 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{3 \ln (3)}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \ln (3) + \ln (5)$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 \ln (3) + \ln (5))}{3 \ln (3) + \ln (5)} = \frac{- \ln (5)}{3 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{3 \ln (3)}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{3 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{3 \ln (3)}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- \ln (5) + 3 \ln (3)}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (5) + 3 \ln (3)}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (5) - (- 3 \ln (3))}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (5) - (- 3 \ln (3))$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (5) - 3 \ln (3))}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.3.5.1

Schreibe $- (\ln (5) - 3 \ln (3))$ als $- 1 (\ln (5) - 3 \ln (3))$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (5) - 3 \ln (3))}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (5) - 3 \ln (3)}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (5) - 3 \ln (3)}{3 \ln (3) + \ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.34379296 \dots$