Trigonometrie Beispiele

\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 1

Vereinfache

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3

Potenziere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ mit

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Schreibe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ als

2

$2$ um.

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Schritt 1.2.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ als

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

x

$x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von

\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von

2 π

$2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

x = 2 π - \frac{π}{4}

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 5

Vereinfache

2 π - \frac{π}{4}

$2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.1

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

x = \frac{8 π - π}{4}

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

8 π

$8 π$ .

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion

\cos (x)

$\cos (x)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

n

$n$