Trigonometrie Beispiele

$4 \sin^{2} (x) = 5 + 4 \cos (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = 4 \cos (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze die $4 \sin^{2} (x)$ durch $4 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 - 4 \cos (x) = 0$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$- 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 6

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 u$ heraus.

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 u^{2}) - (4 u)$ heraus.

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ heraus.

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $4 u^{2}$ als ${(2 u)}^{2}$ um.

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Schritt 7.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 7.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Schritt 7.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 7.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 u$ und $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere ${(2 u + 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 9

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Schritt 10

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 1$

Schritt 10.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 14

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 15

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 15.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 15.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 16

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 16.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 17

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$