Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{x}{3}) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{3} = \arctan (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{π}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{x}{3} = π + \frac{π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (π + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $3 (π + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 3 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 3 \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = 3 \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4

Multipliziere $3 \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{4}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 3$

Schritt 7.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{3})$ ist $3 π$ , d. h., Werte werden sich alle $3 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n, \frac{15 π}{4} + 3 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n$ , für jede ganze Zahl $n$