Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3} - \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $\sin (\frac{x}{2})$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $\sin (\frac{x}{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

Schritt 1.2

Addiere $\sin (\frac{x}{2})$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $2 (π - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.1.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 2 \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.4

Multipliziere $2 \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 9.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$