Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{\sqrt{6}}{5}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (x) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(5)}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{25 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Ankathete $= \sqrt{25 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Ankathete $= \sqrt{25 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Ankathete $= \sqrt{25 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Ankathete $= \sqrt{25 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

Ankathete $= \sqrt{25 - 6}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

Ankathete $= \sqrt{25 - 1 \cdot 6}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

Ankathete $= \sqrt{25 - 6}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $6$ von $25$ .

Ankathete $= \sqrt{19}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{5}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (x)$ zu ermitteln.

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{19}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{19}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{19}}{19}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6 \cdot 19}}{19}$

Schritt 6.3.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $19$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{114}}{19}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (x)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{6}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 7.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.2.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.2.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 7.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 7.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 7.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 7.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{19 \cdot 6}}{6}$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere $19$ mit $6$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{114}}{6}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (x)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{5}{\sqrt{19}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (x)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sec (x) = \frac{5}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{19}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{19}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (x)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{6}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (x)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.2.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 9.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 9.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{6}}{5}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{19}}{5}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{114}}{19}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{114}}{6}$

$\sec (x) = \frac{5 \sqrt{19}}{19}$

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{6}$