Trigonometrie Beispiele

$\cos (a) = \frac{\sqrt{11}}{11}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (a) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(11)}^{2} - {(\sqrt{11})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{121 - {(\sqrt{11})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= \sqrt{121 - {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 11}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 1 \cdot 11}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

Gegenkathete $= \sqrt{121 - 11}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $11$ von $121$ .

Gegenkathete $= \sqrt{110}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (a)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (a) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (a) = \frac{\sqrt{110}}{11}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (a)$ zu ermitteln.

$\tan (a) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (a) = \frac{\sqrt{110}}{\sqrt{11}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (a)$ .

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Schritt 6.3.1

Vereinige $\sqrt{110}$ und $\sqrt{11}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\tan (a) = \sqrt{\frac{110}{11}}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $110$ durch $11$ .

$\tan (a) = \sqrt{10}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (a)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (a) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{110}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (a)$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinige $\sqrt{11}$ und $\sqrt{110}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{11}{110}}$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $11$ und $110$ .

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $11$ aus $11$ heraus.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{11 (1)}{110}}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.2.1

Faktorisiere $11$ aus $110$ heraus.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{11 \cdot 1}{11 \cdot 10}}$

Schritt 7.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{11 \cdot 1}{11 \cdot 10}}$

Schritt 7.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (a) = \sqrt{\frac{1}{10}}$

Schritt 7.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{10}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}}$ um.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}}$

Schritt 7.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cot (a) = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cot (a) = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 7.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 7.3.6.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 7.3.6.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 7.3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 7.3.6.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 7.3.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 7.3.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (a)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (a) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (a) = \frac{11}{\sqrt{11}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (a)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (a) = \frac{11}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (a) = \frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 8.3.3.2

Dividiere $\sqrt{11}$ durch $1$ .

$\sec (a) = \sqrt{11}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (a)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (a) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (a) = \frac{11}{\sqrt{110}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (a)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{110}}$ mit $\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{110}}$ .

$\csc (a) = \frac{11}{\sqrt{110}} \cdot \frac{\sqrt{110}}{\sqrt{110}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{110}}$ mit $\frac{\sqrt{110}}{\sqrt{110}}$ .

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{\sqrt{110} \sqrt{110}}$

Schritt 9.3.2.2

Potenziere $\sqrt{110}$ mit $1$ .

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{\sqrt{110} \sqrt{110}}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{110}$ mit $1$ .

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{\sqrt{110} \sqrt{110}}$

Schritt 9.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{{\sqrt{110}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{{\sqrt{110}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{110}}^{2}$ als $110$ um.

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Schritt 9.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{110}$ als $110^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{{(110^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{110^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{110^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{110^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{110}$

Schritt 9.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{110}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $11$ und $110$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $11$ aus $11 \sqrt{110}$ heraus.

$\csc (a) = \frac{11 (\sqrt{110})}{110}$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $11$ aus $110$ heraus.

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{11 \cdot 10}$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (a) = \frac{11 \sqrt{110}}{11 \cdot 10}$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (a) = \frac{\sqrt{110}}{10}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (a) = \frac{\sqrt{110}}{11}$

$\cos (a) = \frac{\sqrt{11}}{11}$

$\tan (a) = \sqrt{10}$

$\cot (a) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sec (a) = \sqrt{11}$

$\csc (a) = \frac{\sqrt{110}}{10}$