Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.2

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{11 π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.5

Multipliziere $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.9.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.9.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.9.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.9.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.10.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.10.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.10.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.10.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.10.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (- \frac{π}{6})$

Schritt 1.11

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{11 π}{6})$

Schritt 1.12

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.13

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$

Schritt 1.14

Multipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.14.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.14.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.2

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Addiere $3 \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Schritt 4.3

Addiere $4 \sqrt{2}$ und $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$