Trigonometrie Beispiele

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{7 π}{12})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{7 π}{12}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{7 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Schreibe $\frac{7 π}{12}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Schritt 1.4.4.1

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.4.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.6

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ als $- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ um.

$\frac{- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

Schritt 2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Dezimalform:

$0.5$