Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arccos (1 - x))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1 - x, \sqrt{1^{2} - {(1 - x)}^{2}})$ , $(1 - x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (1 - x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1 - x, \sqrt{1^{2} - {(1 - x)}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (1 - x))$ $\sqrt{1 - {(1 - x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 1 - x$ .

$\sqrt{(1 + 1 - x) (1 - (1 - x))}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{(2 - x) (1 - (1 - x))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{(2 - x) (1 - 1 \cdot 1 - - x)}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{(2 - x) (1 - 1 - - x)}$

Schritt 3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{(2 - x) (1 - 1 + 1 x)}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\sqrt{(2 - x) (1 - 1 + x)}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\sqrt{(2 - x) (0 + x)}$

Schritt 3.6

Addiere $0$ und $x$ .

$\sqrt{(2 - x) x}$

Schritt 4

Stelle die Faktoren in $\sqrt{(2 - x) x}$ um.

$\sqrt{x (2 - x)}$