Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$(\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + \sqrt{6 \cdot 2}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{12}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.7.5

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.7.5.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.7.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.7.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + 2 \sqrt{3}$ und $8$ .

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{8} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 (4)} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 4} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9

Der genau Wert von $\cos (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.9.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.9.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.9.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.9.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.9.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.10

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.11

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 1.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 1.14

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.14.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Schritt 1.14.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Schritt 1.14.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Schritt 1.14.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 1.15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.15.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 1.15.2

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 1.15.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 1.15.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Schritt 1.15.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.15.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Schritt 1.15.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Schritt 1.15.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 1.15.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.15.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 1.15.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Schritt 1.15.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Schritt 1.15.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Schritt 1.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{3} - 2$ und $8$ .

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Schritt 1.16.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Schritt 1.16.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Schritt 1.16.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Schritt 1.16.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.16.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Schritt 1.16.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.16.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1)}{4}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - - 1}{4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}{4}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 0}{4}$

Schritt 4.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{4}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$