Trigonometrie Beispiele

${(1 - \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 5 (\sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3} i$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{1} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 \cdot - 1) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $10 (3 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot - 3 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.12.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.14

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.15

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.15.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3} i$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.15.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.16

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.17

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.18

Potenziere $3$ mit $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{27} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.19

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.19.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.19.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.20

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.22

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.23

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.24

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (3 \sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.26

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 (\sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.27

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.28

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.28.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3} i$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.28.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.29

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.30

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{4}$ mit $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 2.1.31.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{4}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.31.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.31.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2}{1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.31.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{2} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.32

Potenziere $3$ mit $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.33

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.33.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(i^{2})}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.33.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(- 1)}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.33.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 \cdot 1) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.34

Multipliziere $5 (9 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.1.34.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 \cdot 9 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.34.2

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Schritt 2.1.35

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.35.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3} i$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3})}^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.35.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.36

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.37

Schreibe ${\sqrt{3}}^{5}$ als $\sqrt{3^{5}}$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{3^{5}} i^{5}$

Schritt 2.1.38

Potenziere $3$ mit $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{243} i^{5}$

Schritt 2.1.39

Schreibe $243$ als $9^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.39.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{81 (3)} i^{5}$

Schritt 2.1.39.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{9^{2} \cdot 3} i^{5}$

Schritt 2.1.40

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - (9 \sqrt{3}) i^{5}$

Schritt 2.1.41

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i^{5}$

Schritt 2.1.42

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (i^{4} i)$

Schritt 2.1.43

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.43.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 2.1.43.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 2.1.43.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (1 i)$

Schritt 2.1.44

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $30$ von $1$ .

$- 5 \sqrt{3} i - 29 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 5 \sqrt{3} i$ und $30 \sqrt{3} i$ .

$25 \sqrt{3} i - 29 + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $9 \sqrt{3} i$ von $25 \sqrt{3} i$ .

$16 \sqrt{3} i - 29 + 45$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $- 29$ und $45$ .

$16 \sqrt{3} i + 16$

Schritt 2.2.4.2

Stelle $16 \sqrt{3} i$ und $16$ um.

$16 + 16 \sqrt{3} i$