Trigonometrie Beispiele

$\cos (\arcsin (\frac{1}{x}))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}, \frac{1}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{1}{x})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}, \frac{1}{x})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{1}{x}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{1}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x + 1}{x} (1 - \frac{1}{x})}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x + 1}{x} (\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x}$ mit $\frac{x - 1}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 1) (x - 1))$ um.

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Schritt 4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{x^{2}}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{x} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x}$