Trigonometrie Beispiele

$1 + \tan^{2} (30 °) - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 1

Ordne Terme um.

$\tan^{2} (30 °) + 1 - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (30 °) - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\sec (30 °)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.5.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.5.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 \cdot 3}{9} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{9} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 (4)}{9} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} - \csc^{2} (45 °)$

Schritt 3.9

Der genau Wert von $\csc (45 °)$ ist $\sqrt{2}$ .

$\frac{4}{3} - {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 3.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4}{3} - 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} - 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} - 2^{1}$

Schritt 3.10.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 2$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} - 2$

Schritt 4

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{4 - 6}{3}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$\frac{- 2}{3}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{6}$