Trigonometrie Beispiele

$\sin (4 x) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\sin (2 (2 x)) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.7

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.7.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.7.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - \sin (2 x) = 0$

Schritt 1.1.9

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 1.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 \sin (x) \cos (x)$ von $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2 \sin (x) \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) (1 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 \sin (x) \cos (x) (1^{2} - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $4 \sin^{2} (x)$ als ${(2 \sin (x))}^{2}$ um.

$2 \sin (x) \cos (x) (1^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}) = 0$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - (2 \sin (x)))) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x))) = 0$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $1 + 2 \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $1 + 2 \sin (x)$ gleich $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $1 + 2 \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 6.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 6.2.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 6.2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 6.2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 6.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Setze $1 - 2 \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $1 - 2 \sin (x)$ gleich $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $1 - 2 \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 7.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.3

Führe $π n$ und $\frac{π}{2} + π n$ zu $\frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.4

Führe $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ und $\frac{π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.5

Führe $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ und $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$