Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{x}{2}) = 1 - \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $\sin (\frac{x}{2})$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $\sin (\frac{x}{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 1.2

Addiere $\sin (\frac{x}{2})$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $2 (π - \frac{π}{6})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 8.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Schritt 8.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 9.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$