Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 \frac{π}{3}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere $2 \frac{4 π}{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 8

Addiere $4 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $4 π$ zu $- \frac{2 π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

Schritt 8.2

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $4 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $2 π$ von $12 π$ .

$\frac{10 π}{3}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{10 π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{8 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$