Trigonometrie Beispiele

$4 \cos^{2} (4 x) - 3 = 0$

Schritt 1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos^{2} (4 x) = 3$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (4 x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (4 x) = \frac{3}{4}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (4 x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Löse in $\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$4 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Schritt 7.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Schritt 7.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$4 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 7.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$4 x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 7.5.1.5

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$4 x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 7.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{11 π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{11 π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Schritt 7.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Schritt 7.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 4}$

Schritt 7.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{11 π}{24}$

Schritt 7.6

Ermittele die Periode von $\cos (4 x)$ .

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Schritt 7.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 7.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 7.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 7.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\cos (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$4 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$4 x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Schritt 8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 8.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Schritt 8.3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Schritt 8.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$4 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 8.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 8.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 8.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 8.5.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$4 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 8.5.1.5

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{7 π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{7 π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Schritt 8.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Schritt 8.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Schritt 8.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 8.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 8.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

Schritt 8.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{7 π}{24}$

Schritt 8.6

Ermittele die Periode von $\cos (4 x)$ .

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Schritt 8.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 8.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 8.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 8.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 8.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 8.7

Die Periode der Funktion $\cos (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $\frac{π}{24} + \frac{π n}{2}$ und $\frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ zu $\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ zusammen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Führe $\frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ und $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ zu $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ zusammen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$