Trigonometrie Beispiele

$\arccos (x - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{π}{4}$

Schritt 1

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$x - \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$x - \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$x = \sqrt{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 1.41421356 \dots$