Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (2 x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 1.3

Multipliziere $4 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Schritt 1.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Schritt 1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) = 0$

Schritt 1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $4 \sin (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$\sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $4 \cos^{2} (x)$ als ${(2 \cos (x))}^{2}$ um.

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 \cos (x)$ und $b = 1$ .

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)) = 0$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 5.2.6.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$