Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\tan^{2} (x)$ durch $\sec^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

Schritt 3

Ersetze $\sec (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} + u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Schritt 6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 7

Setze $u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 1) (u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = 1, - 2$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 1, - 2$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

Schritt 11

Löse in $\sec (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (1)$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $arcsec (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 11.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 11.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\sec (x) = - 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- 2)$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- 2)$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.4

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$