Trigonometrie Beispiele

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = \tan^{2} (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\tan^{2} (x)$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 20 u + 64$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $64$ und deren Summe $- 20$ ist.

$- 16, - 4$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Schritt 1.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Schritt 1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (x)$ und $b = 4$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Schritt 1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.8

Faktorisiere.

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Schritt 1.8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (x)$ und $b = 2$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

Schritt 1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $\tan (x) + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\tan (x) + 4$ gleich $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\tan (x) + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 4$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 4)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Berechne $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

Schritt 3.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 3.2.5.2

Der resultierende Winkel von $1.81577498$ ist positiv und gleich $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = 1.81577498$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $π$ zu $- 1.32581766$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.32581766 + π$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.32581766$

Schritt 3.2.7.3

Subtrahiere $1.32581766$ von $3.14159265$ .

$1.81577498$

Schritt 3.2.7.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 1.81577498$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\tan (x) - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x) - 4$ gleich $0$ .

$\tan (x) - 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = 4$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (4)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Berechne $\arctan (4)$ .

$x = 1.32581766$

Schritt 4.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Schritt 4.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

Schritt 4.2.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Schritt 4.2.5.3

Addiere $3.14159265$ und $1.32581766$ .

$x = 4.46741031$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\tan (x) + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\tan (x) + 2$ gleich $0$ .

$\tan (x) + 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\tan (x) + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 2$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 2)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Berechne $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Schritt 5.2.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 5.2.5.2

Der resultierende Winkel von $2.03444393$ ist positiv und gleich $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.7.1

Addiere $π$ zu $- 1.10714871$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.10714871 + π$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.10714871$

Schritt 5.2.7.3

Subtrahiere $1.10714871$ von $3.14159265$ .

$2.03444393$

Schritt 5.2.7.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 2.03444393$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\tan (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\tan (x) - 2$ gleich $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\tan (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = 2$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (2)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Berechne $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Schritt 6.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Schritt 6.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Schritt 6.2.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Schritt 6.2.5.3

Addiere $3.14159265$ und $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $1.81577498 + π n$ und $1.81577498 + π n$ zu $1.81577498 + π n$ zusammen.

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.2

Führe $1.32581766 + π n$ und $4.46741031 + π n$ zu $1.32581766 + π n$ zusammen.

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.3

Führe $2.03444393 + π n$ und $2.03444393 + π n$ zu $2.03444393 + π n$ zusammen.

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.4

Führe $1.10714871 + π n$ und $4.24874137 + π n$ zu $1.10714871 + π n$ zusammen.

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$