Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) = - \sqrt{2} \sin (x)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) = - \sqrt{2} \sin (x)$ durch $\tan (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) = - \sqrt{2} \sin (x)$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{- \sqrt{2}}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 = \frac{- \sqrt{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{- \sqrt{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cos (x)$

Schritt 1.3.6

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$1 = - \sqrt{2} \cos (x)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{2} \cos (x) = 1$ um.

$- \sqrt{2} \cos (x) = 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{2} \cos (x) = 1$ durch $- \sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{2} \cos (x) = 1$ durch $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2} \cos (x)}{- \sqrt{2}} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\cos (x) = \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 7

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$