Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arctan (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π + π}{4}$

Schritt 3.3

Addiere $π$ und $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π + \frac{π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π + π}{4}$

Schritt 6.2.3

Addiere $5 π$ und $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π}{4}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 6.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{4}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = 3 π$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n, 3 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$