Trigonometrie Beispiele

$\tan^{4} (x) - \sec^{4} (x)$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\tan^{2} (x))}^{2} - \sec^{4} (x)$

Schritt 1.2

Schreibe $\sec^{4} (x)$ als ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\tan^{2} (x))}^{2} - {(\sec^{2} (x))}^{2}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan^{2} (x)$ und $b = \sec^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))$

Schritt 3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.1

Stelle $\tan^{2} (x)$ und $- \sec^{2} (x)$ um.

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\tan^{2} (x)$ heraus.

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))$

Schritt 4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) \cdot - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan^{2} (x) \cdot - 1 + \sec^{2} (x) \cdot - 1$

Schritt 5.2.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (x)$ .

$- 1 \cdot \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) \cdot - 1$

Schritt 5.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (x)$ .

$- 1 \cdot \tan^{2} (x) - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $- 1 \tan^{2} (x)$ als $- \tan^{2} (x)$ um.

$- \tan^{2} (x) - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Schritt 5.3.2

Schreibe $- 1 \sec^{2} (x)$ als $- \sec^{2} (x)$ um.

$- \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$