Trigonometrie Beispiele

$\sec (105)$

Schritt 1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \sec (75)$

Schritt 2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \sec (30 + 45)$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$- \frac{\sec (30) \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\csc (30) \csc (45) - \sec (30) \sec (45)}$

Schritt 4

Der genau Wert von $\sec (30)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\csc (30) \csc (45) - \sec (30) \sec (45)}$

Schritt 5

Der genau Wert von $\sec (45)$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) \csc (45)}{\csc (30) \csc (45) - \sec (30) \sec (45)}$

Schritt 6

Der genau Wert von $\csc (30)$ ist $2$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \csc (45)}{\csc (30) \csc (45) - \sec (30) \sec (45)}$

Schritt 7

Der genau Wert von $\csc (45)$ ist $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\csc (30) \csc (45) - \sec (30) \sec (45)}$

Schritt 8

Der genau Wert von $\csc (30)$ ist $2$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \csc (45) - \sec (30) \sec (45)}$

Schritt 9

Der genau Wert von $\csc (45)$ ist $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sec (30) \sec (45)}$

Schritt 10

Der genau Wert von $\sec (30)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45)}$

Schritt 11

Der genau Wert von $\sec (45)$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12

Vereinfache $- \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ und $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 12.2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Schritt 12.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Schritt 12.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Schritt 12.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Schritt 12.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 12.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 12.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 12.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 12.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 12.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 12.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}}$

Schritt 12.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 12.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 12.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 12.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 12.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{- \sqrt{3}}{3} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \sqrt{2}}$

Schritt 12.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}}$

Schritt 12.2.8

Kombiniere $\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3}}$

Schritt 12.2.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}}$

Schritt 12.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.2.12

Um $2 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.2.13

Kombiniere $2 \sqrt{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.1

Vereinige $\sqrt{2}$ und $\sqrt{6}$ zu einer einzigen Wurzel.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 12.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- \frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 12.5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.5.7

Kombiniere $8$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}{3}}$

Schritt 12.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Schritt 12.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Schritt 12.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- (8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}})$

Schritt 12.8

Kombiniere $\frac{1}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$ und $8$ .

$- (\frac{8}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}} \sqrt{3})$

Schritt 12.9

Kombiniere $\frac{8}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$ und $\sqrt{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$

Schritt 12.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}$ .

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Schritt 12.10.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}}$

Schritt 12.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{6}}$

Schritt 12.10.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{6}$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (- \sqrt{6})}$

Schritt 12.10.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (- \sqrt{6})$ heraus.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Schritt 12.10.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Schritt 12.10.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Schritt 12.11

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$- (\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}})$

Schritt 12.12

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ mit $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} - \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Schritt 12.13

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} + 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 12.14

Vereinfache.

$- \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{12}$

Schritt 12.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 12.15.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})$ heraus.

$- \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{12}$

Schritt 12.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Schritt 12.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Schritt 12.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}{3}$

Schritt 12.16

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Schritt 12.17

Multipliziere $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Schritt 12.17.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Schritt 12.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{3}$

Schritt 12.18

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Schritt 12.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.19.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{18}}{3}$

Schritt 12.19.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 12.19.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{9 (2)}}{3}$

Schritt 12.19.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Schritt 12.19.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 12.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{2}$ und $3$ .

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Schritt 12.20.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{6}$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 \sqrt{2}}{3}$

Schritt 12.20.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (\sqrt{2})}{3}$

Schritt 12.20.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{6}) + 3 (\sqrt{2})$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3}$

Schritt 12.20.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.20.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 (1)}$

Schritt 12.20.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 12.20.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{1}$

Schritt 12.20.4.4

Dividiere $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- (\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Schritt 12.21

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$- 3.86370330 \dots$