Trigonometrie Beispiele

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cos^{4} (x)$ als ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\cos^{2} (x))}^{2} - \sin^{4} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe $\sin^{4} (x)$ als ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\cos^{2} (x))}^{2} - {(\sin^{2} (x))}^{2}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos^{2} (x)$ und $b = \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Ordne Terme um.

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 2.4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 2.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

${\cos (x)}^{1} \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

${\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 4.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))$

Schritt 4.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})$

Schritt 4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{2}$

Schritt 4.2

Addiere $\cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Stelle $\cos (x)$ und $- 1$ um.

${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $\cos (x) \sin (x)$ von $\cos (x) \sin (x)$ .

${\cos (x)}^{2} + 0 - {\sin (x)}^{2}$

Schritt 4.3

Addiere ${\cos (x)}^{2}$ und $0$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 6

Subtrahiere ${\sin (x)}^{2}$ von $- {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung