Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)} = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 2.1.7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.9.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.1.9.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.1.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.1.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Schritt 2.1.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.10.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Schritt 2.1.10.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Schritt 2.1.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 2.1.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)} = 1$ ist eine Identitätsgleichung