Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan^{2} (x) \cos (x)}{2 \sec (x)} = \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan^{2} (x) \cos (x)}{2 \sec (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)}{2 \sec (x)}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)}{2 \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x)}{2 \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}}{\frac{2}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{{\sin (x)}^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\sin (x)}^{2} \cos (x)$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{\frac{2}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus ${\cos (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\frac{2}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\frac{2}{\cos (x)}}$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}}{\frac{2}{\cos (x)}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{2}$

Schritt 3.5

Kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2} \cos (x)}{\cos (x) \cdot 2}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{2}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{\sin^{2} (x)}{2}$ als $\frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan^{2} (x) \cos (x)}{2 \sec (x)} = \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung